Analysis Beispiele

$\sum_{n = 3}^{8} n + 25$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $n$ gleich $1$ ist.

$\sum_{n = 3}^{8} n + 25 = \sum_{n = 1}^{8} n + 25 - \sum_{n = 1}^{2} n + 25$

Schritt 2

Berechne $\sum_{n = 1}^{8} n + 25$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{8} n + 25 = \sum_{n = 1}^{8} n + \sum_{n = 1}^{8} 25$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{n = 1}^{8} n$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{8 (8 + 1)}{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (8 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (4 (8 + 1))}{2}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (4 (8 + 1))}{2 (1)}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 (8 + 1))}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (8 + 1)}{1}$

Schritt 2.2.3.1.2.4

Dividiere $4 (8 + 1)$ durch $1$ .

$4 (8 + 1)$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $8$ und $1$ .

$4 \cdot 9$

Schritt 2.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$36$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{n = 1}^{8} 25$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(25) (8)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $25$ mit $8$ .

$200$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$36 + 200$

Schritt 2.5

Addiere $36$ und $200$ .

$236$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{2} n + 25$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$1 + 25 + 2 + 25$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ und $25$ .

$26 + 2 + 25$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ und $25$ .

$26 + 27$

Schritt 3.2.3

Addiere $26$ und $27$ .

$53$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$236 - 53$

Schritt 5

Subtrahiere $53$ von $236$ .

$183$