Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(i - 1)}^{2}$ als $(i - 1) (i - 1)$ um.

$i ((i - 1) (i - 1))$

Schritt 1.2

Multipliziere $(i - 1) (i - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $i$ mit $i$ .

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $i$ .

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$i (i^{2} - i - i + 1)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $i$ von $- i$ .

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere $i$ mit $i^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $i$ mit $i^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Schritt 1.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Schritt 1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

Schritt 1.6

Multipliziere $i$ mit $i$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1

Bewege $i$ .

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $i$ mit $i$ .

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

Schritt 1.7

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

Schritt 3

Berechne $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $22$ und $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $22$ mit $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Potenziere $23$ mit $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $484$ mit $529$ .

$\frac{256036}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $256036$ durch $4$ .

$64009$

Schritt 4

Berechne $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $22$ und $1$ .

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $22$ mit $23$ .

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $22$ .

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $44$ und $1$ .

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $506$ mit $45$ .

$- 2 (\frac{22770}{6})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

Schritt 4.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.3.1

Dividiere $22770$ durch $3$ .

$- 1 \cdot 7590$

Schritt 4.3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7590$ .

$- 7590$

Schritt 5

Berechne $\sum_{i = 1}^{22} i$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $2$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $22 (22 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

Schritt 5.3.1.2.4

Dividiere $11 (22 + 1)$ durch $1$ .

$11 (22 + 1)$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.2.1

Addiere $22$ und $1$ .

$11 \cdot 23$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $23$ .

$253$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$64009 - 7590 + 253$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $7590$ von $64009$ .

$56419 + 253$

Schritt 7.2

Addiere $56419$ und $253$ .

$56672$