Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{9} 4^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{4^{i + 1}}{4^{i}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{i + 1}$ und $4^{i}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4^{i}$ aus $4^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{4}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$r = 4$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $i$ in $4^{i}$ ein.

$a = 4^{1}$

Schritt 3.2

Berechne den Exponenten.

$a = 4$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$4 \frac{1 - 4^{9}}{1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $4$ mit $9$ .

$4 \frac{1 - 1 \cdot 262144}{1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $262144$ .

$4 \frac{1 - 262144}{1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $262144$ von $1$ .

$4 \frac{- 262143}{1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 \frac{- 262143}{1 - 4}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$4 (\frac{- 262143}{- 3})$

Schritt 5.3

Dividiere $- 262143$ durch $- 3$ .

$4 \cdot 87381$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $87381$ .

$349524$