Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k = - 4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 6 \sum_{k = 1}^{8} k$

Schritt 2

Berechne $4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $8$ und $1$ .

$- 4 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$- 4 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$- 4 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $16$ und $1$ .

$- 4 \frac{72 \cdot 17}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $72$ mit $17$ .

$- 4 (\frac{1224}{6})$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 (- 2) \frac{1224}{6}$

Schritt 2.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (\frac{1224}{3})$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1224}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 1224}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1224$ .

$\frac{- 2448}{3}$

Schritt 2.3.2.4.2

Dividiere $- 2448$ durch $3$ .

$- 816$

Schritt 3

Berechne $6 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(6) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $8$ und $1$ .

$6 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$6 (\frac{72}{2})$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{72}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{72}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 72$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $72$ .

$216$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$- 816 + 216$

Schritt 5

Addiere $- 816$ und $216$ .

$- 600$