Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 1)}^{k + 1}$ und ${(- 1)}^{k}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere ${(- 1)}^{k}$ aus ${(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere ${(- 1)}^{k}$ aus ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ heraus.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} (3^{k})}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 3^{k + 1}}{3^{k}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{k + 1}$ und $3^{k}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $3^{k}$ aus $- 3^{k + 1}$ heraus.

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 1 \cdot 3}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere $- 1 \cdot 3$ durch $1$ .

$r = - 1 \cdot 3$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$r = - 3$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $k$ in ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ ein.

$a = {(- 1)}^{1} \cdot 3^{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Berechne den Exponenten.

$a = - 1 \cdot 3^{1}$

Schritt 3.2.2

Berechne den Exponenten.

$a = - 1 \cdot 3$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a = - 3$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- 3 \frac{1 - {(- 3)}^{6}}{1 - - 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $6$ .

$- 3 \frac{1 - 1 \cdot 729}{1 - - 3}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $729$ .

$- 3 \frac{1 - 729}{1 - - 3}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $729$ von $1$ .

$- 3 \frac{- 728}{1 - - 3}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 3 \frac{- 728}{1 + 3}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$- 3 (\frac{- 728}{4})$

Schritt 5.3

Dividiere $- 728$ durch $4$ .

$- 3 \cdot - 182$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 182$ .

$546$