Analysis Beispiele

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $j$ gleich $1$ ist.

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

Schritt 2.2

Berechne $6 \sum_{j = 1}^{30} j$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1.1

Addiere $30$ und $1$ .

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $31$ .

$6 (\frac{930}{2})$

Schritt 2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{930}{2}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 930$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $930$ .

$2790$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- \frac{4}{3}$ aus der Summe raus.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

Schritt 2.3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.1.1

Addiere $30$ und $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.4.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $30$ mit $31$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $30$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.4.1.3

Addiere $60$ und $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $930$ mit $61$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.4.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.4.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

Schritt 2.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.4.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $56730$ heraus.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

Schritt 2.3.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

Schritt 2.3.4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

Schritt 2.3.4.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{18910}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

Schritt 2.3.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $18910$ .

$\frac{- 37820}{3}$

Schritt 2.3.4.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{37820}{3}$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$2790 - \frac{37820}{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Um $2790$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $2790$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $2790$ mit $3$ .

$\frac{8370 - 37820}{3}$

Schritt 2.5.4.2

Subtrahiere $37820$ von $8370$ .

$\frac{- 29450}{3}$

Schritt 2.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{29450}{3}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $j$ .

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$6 - \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{18 - 4}{3}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $18$ .

$\frac{14}{3}$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $14$ von $- 29450$ .

$\frac{- 29464}{3}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{29464}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{29464}{3}$

Dezimalform:

$- 9821.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 9821 \frac{1}{3}$