Analysis Beispiele

$\sqrt{r} + \sqrt[6]{r}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{r} + \sqrt[6]{r}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r}$ als $r^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$ .

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{r}$ als $r^{\frac{1}{6}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1}{6} - 1}$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1 - 6}{6}}$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{- 5}{6}}$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{- \frac{5}{6}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6} r^{- \frac{5}{6}}$

Schritt 1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}$ nach $r$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ als ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{- 1}$ und $g (r) = r^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- r^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $r^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} \frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $r^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{1}{2}} r^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $r^{- \frac{1}{2}}$ mit $r^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.13.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.14

Bringe $r^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 r^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}$ nach $r$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}]$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}$ als ${(r^{\frac{5}{6}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{5}{6}})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{- 1}$ und $g (r) = r^{\frac{5}{6}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $r^{\frac{5}{6}}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{6}}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{6}}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $r^{\frac{5}{6}}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- {(r^{\frac{5}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{6}}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{6}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- {(r^{\frac{5}{6}})}^{- 2} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{\frac{5}{6}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{6} \cdot - 2} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{3} \cdot - 1} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

Schritt 2.3.5.3

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

Schritt 2.3.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{- 5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

Schritt 2.3.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}))$

Schritt 2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5 - 6}{6}}))$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{- 1}{6}}))$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{- \frac{1}{6}}))$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{5}{6}$ und $r^{- \frac{1}{6}}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} \frac{5 r^{- \frac{1}{6}}}{6})$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{5 r^{- \frac{1}{6}}}{6}$ und $r^{- \frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{1}{6}} r^{- \frac{5}{3}}}{6})$

Schritt 2.3.13

Multipliziere $r^{- \frac{1}{6}}$ mit $r^{- \frac{5}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.13.1

Bewege $r^{- \frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 (r^{- \frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{6}})}{6})$

Schritt 2.3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{5}{3} - \frac{1}{6}}}{6})$

Schritt 2.3.13.3

Um $- \frac{5}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}}}{6})$

Schritt 2.3.13.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.13.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}}}{6})$

Schritt 2.3.13.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{5 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}}}{6})$

Schritt 2.3.13.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2 - 1}{6}}}{6})$

Schritt 2.3.13.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.13.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{\frac{- 10 - 1}{6}}}{6})$

Schritt 2.3.13.6.2

Subtrahiere $1$ von $- 10$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{\frac{- 11}{6}}}{6})$

Schritt 2.3.13.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{11}{6}}}{6})$

Schritt 2.3.14

Bringe $r^{- \frac{11}{6}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5}{6 r^{\frac{11}{6}}})$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{5}{6 r^{\frac{11}{6}}}$ .

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{5}{6 (6 r^{\frac{11}{6}})}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$ .

$\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}$ nach $r$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}$ als ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{- 1}$ und $g (r) = r^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $r^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{1}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $r^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} (- r^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{1}{4} (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{4} (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4} (- r^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.10

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $r^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} \frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $\frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $r^{- 3}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{1}{2}} r^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.12

Multipliziere $r^{\frac{1}{2}}$ mit $r^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.12.1

Bewege $r^{- 3}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 (r^{- 3} r^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.12.3

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.12.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.12.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.12.6.2

Addiere $- 6$ und $1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.12.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.13

Bringe $r^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.16

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{3}{4 (2 r^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.2.17

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{5}{36}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}$ nach $r$ gleich $- \frac{5}{36} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{11}{6}}}]$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{11}{6}}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{r^{\frac{11}{6}}}$ als ${(r^{\frac{11}{6}})}^{- 1}$ um.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{11}{6}})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{- 1}$ und $g (r) = r^{\frac{11}{6}}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $r^{\frac{11}{6}}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{11}{6}}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{11}{6}}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $r^{\frac{11}{6}}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- {(r^{\frac{11}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{11}{6}}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{11}{6}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- {(r^{\frac{11}{6}})}^{- 2} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{\frac{11}{6}})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{6} \cdot - 2} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{3} \cdot - 1} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

Schritt 3.3.5.3

Kombiniere $\frac{11}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11 \cdot - 1}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

Schritt 3.3.5.4

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{- 11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

Schritt 3.3.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

Schritt 3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}))$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}))$

Schritt 3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11 - 1 \cdot 6}{6}}))$

Schritt 3.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11 - 6}{6}}))$

Schritt 3.3.9.2

Subtrahiere $6$ von $11$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{5}{6}}))$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $\frac{11}{6}$ und $r^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} \frac{11 r^{\frac{5}{6}}}{6})$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $\frac{11 r^{\frac{5}{6}}}{6}$ und $r^{- \frac{11}{3}}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{\frac{5}{6}} r^{- \frac{11}{3}}}{6})$

Schritt 3.3.12

Multipliziere $r^{\frac{5}{6}}$ mit $r^{- \frac{11}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.12.1

Bewege $r^{- \frac{11}{3}}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 (r^{- \frac{11}{3}} r^{\frac{5}{6}})}{6})$

Schritt 3.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{11}{3} + \frac{5}{6}}}{6})$

Schritt 3.3.12.3

Um $- \frac{11}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{11}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{6}}}{6})$

Schritt 3.3.12.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.12.4.1

Mutltipliziere $\frac{11}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{11 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6}}}{6})$

Schritt 3.3.12.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{11 \cdot 2}{6} + \frac{5}{6}}}{6})$

Schritt 3.3.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{\frac{- 11 \cdot 2 + 5}{6}}}{6})$

Schritt 3.3.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.12.6.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $2$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{\frac{- 22 + 5}{6}}}{6})$

Schritt 3.3.12.6.2

Addiere $- 22$ und $5$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{\frac{- 17}{6}}}{6})$

Schritt 3.3.12.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{17}{6}}}{6})$

Schritt 3.3.13

Bringe $r^{- \frac{17}{6}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11}{6 r^{\frac{17}{6}}})$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + 1 (\frac{5}{36}) \frac{11}{6 r^{\frac{17}{6}}}$

Schritt 3.3.15

Mutltipliziere $\frac{5}{36}$ mit $1$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{11}{6 r^{\frac{17}{6}}}$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $\frac{5}{36}$ mit $\frac{11}{6 r^{\frac{17}{6}}}$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{5 \cdot 11}{36 (6 r^{\frac{17}{6}})}$

Schritt 3.3.17

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{55}{36 (6 r^{\frac{17}{6}})}$

Schritt 3.3.18

Mutltipliziere $6$ mit $36$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $\frac{3}{8}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}$ nach $r$ gleich $\frac{3}{8} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}]$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}$ als ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{3}{8} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{- 1}$ und $g (r) = r^{\frac{5}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $r^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{8} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{3}{8} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $r^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{8} (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{8} (- r^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{3}{8} (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{8} (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{8} (- r^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.10

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} \frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.11

Kombiniere $\frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $r^{- 5}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{3}{2}} r^{- 5}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.12

Multipliziere $r^{\frac{3}{2}}$ mit $r^{- 5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.12.1

Bewege $r^{- 5}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5 (r^{- 5} r^{\frac{3}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.12.3

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.12.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.12.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.12.6.2

Addiere $- 10$ und $3$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{- 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.12.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{- \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.13

Bringe $r^{- \frac{7}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.14

Mutltipliziere $\frac{3}{8}$ mit $\frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{15}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $\frac{55}{216}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}$ nach $r$ gleich $\frac{55}{216} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{17}{6}}}]$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{17}{6}}}]$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1}{r^{\frac{17}{6}}}$ als ${(r^{\frac{17}{6}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{17}{6}})}^{- 1}]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{- 1}$ und $g (r) = r^{\frac{17}{6}}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $r^{\frac{17}{6}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{17}{6}}])$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{17}{6}}])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $r^{\frac{17}{6}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- {(r^{\frac{17}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{17}{6}}])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{17}{6}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- {(r^{\frac{17}{6}})}^{- 2} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

Schritt 4.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{\frac{17}{6}})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{6} \cdot - 2} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{3} \cdot - 1} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

Schritt 4.3.5.3

Kombiniere $\frac{17}{3}$ und $- 1$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17 \cdot - 1}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

Schritt 4.3.5.4

Mutltipliziere $17$ mit $- 1$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{- 17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

Schritt 4.3.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

Schritt 4.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}))$

Schritt 4.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}))$

Schritt 4.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17 - 1 \cdot 6}{6}}))$

Schritt 4.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17 - 6}{6}}))$

Schritt 4.3.9.2

Subtrahiere $6$ von $17$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{11}{6}}))$

Schritt 4.3.10

Kombiniere $\frac{17}{6}$ und $r^{\frac{11}{6}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} \frac{17 r^{\frac{11}{6}}}{6})$

Schritt 4.3.11

Kombiniere $\frac{17 r^{\frac{11}{6}}}{6}$ und $r^{- \frac{17}{3}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{\frac{11}{6}} r^{- \frac{17}{3}}}{6})$

Schritt 4.3.12

Multipliziere $r^{\frac{11}{6}}$ mit $r^{- \frac{17}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.12.1

Bewege $r^{- \frac{17}{3}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 (r^{- \frac{17}{3}} r^{\frac{11}{6}})}{6})$

Schritt 4.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{17}{3} + \frac{11}{6}}}{6})$

Schritt 4.3.12.3

Um $- \frac{17}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{17}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{6}}}{6})$

Schritt 4.3.12.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.12.4.1

Mutltipliziere $\frac{17}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{17 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{11}{6}}}{6})$

Schritt 4.3.12.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{17 \cdot 2}{6} + \frac{11}{6}}}{6})$

Schritt 4.3.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{\frac{- 17 \cdot 2 + 11}{6}}}{6})$

Schritt 4.3.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.12.6.1

Mutltipliziere $- 17$ mit $2$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{\frac{- 34 + 11}{6}}}{6})$

Schritt 4.3.12.6.2

Addiere $- 34$ und $11$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{\frac{- 23}{6}}}{6})$

Schritt 4.3.12.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{23}{6}}}{6})$

Schritt 4.3.13

Bringe $r^{- \frac{23}{6}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17}{6 r^{\frac{23}{6}}})$

Schritt 4.3.14

Mutltipliziere $\frac{55}{216}$ mit $\frac{17}{6 r^{\frac{23}{6}}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{55 \cdot 17}{216 (6 r^{\frac{23}{6}})}$

Schritt 4.3.15

Mutltipliziere $55$ mit $17$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{935}{216 (6 r^{\frac{23}{6}})}$

Schritt 4.3.16

Mutltipliziere $6$ mit $216$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{935}{1296 r^{\frac{23}{6}}}$