Analysis Beispiele

$t^{3} - 27 t$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{3} - 27 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27 t]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27 t]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [- 27 t]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 27$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 27 t$ nach $t$ gleich $- 27 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 t^{2} - 27 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 t^{2} - 27 \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 27$ mit $1$ .

$f' (t) = 3 t^{2} - 27$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{2} - 27$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 27]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{2}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 27]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 27]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 27]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 27$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 27$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$6 t + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $6 t$ und $0$ .

$f'' (t) = 6 t$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 t$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f''' (t) = 6$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$f^{4} (t) = 0$