Analysis Beispiele

$x^{\frac{8}{3}} - 4 x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{8}{3}} - 4 x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.3.7

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 4 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{8}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{20}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ mit $\frac{20}{3}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} \cdot 20}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

Schritt 2.3.12

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{40}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}$ nach $x$ gleich $\frac{40}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{40}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{40}{9} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $\frac{40}{9}$ mit $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{40 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{9 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $40$ .

$\frac{80 x^{- \frac{1}{3}}}{9 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{80 x^{- \frac{1}{3}}}{27} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.2.12

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{40}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{40}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Schritt 3.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Schritt 3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 3.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{40}{9}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $\frac{40}{9}$ mit $1$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.17

Mutltipliziere $\frac{40}{9}$ mit $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 3.3.18

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f''' (x) = \frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $\frac{80}{27}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{80}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{80}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{80}{27} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{80}{27} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{80}{27} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{80}{27} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{80}{27} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{80}{27} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$\frac{80}{27} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{80}{27} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.15

Mutltipliziere $\frac{80}{27}$ mit $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{80}{27 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.2.16

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $\frac{40}{27}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{40}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ als ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{\frac{4}{3} \cdot - 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 2$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{\frac{- 8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 4.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 4.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 4.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}))$

Schritt 4.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 4.3.10

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.11

Kombiniere $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.12

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{8}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.12.1

Bewege $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{3})$

Schritt 4.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{3} + \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 + 1}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.12.4

Addiere $- 8$ und $1$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{\frac{- 7}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{- \frac{7}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.13

Bringe $x^{- \frac{7}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}})$

Schritt 4.3.14

Mutltipliziere $\frac{40}{27}$ mit $\frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{40 \cdot 4}{27 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Schritt 4.3.15

Mutltipliziere $40$ mit $4$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{160}{27 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Schritt 4.3.16

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{160}{81 x^{\frac{7}{3}}}$