Analysis Beispiele

\sin (x) \sin (x)

$\sin (x) \sin (x)$

Schritt 1

Potenziere

\sin (x)

$\sin (x)$ mit

1

$1$ .

\frac{d}{d x} [\sin^{1} (x) \sin (x)]

$\frac{d}{d x} [\sin^{1} (x) \sin (x)]$

Schritt 2

Potenziere

\sin (x)

$\sin (x)$ mit

1

$1$ .

\frac{d}{d x} [\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)]

$\frac{d}{d x} [\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)]$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{1 + 1}]

$\frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{1 + 1}]$

Schritt 4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ und

g (x) = \sin (x)

$g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

u

$u$ durch

\sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ ist mit

n = 2

$n = 2$ .

2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 5.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

\sin (x)

$\sin (x)$ .

2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6

Die Ableitung von

\sin (x)

$\sin (x)$ nach

x

$x$ ist

\cos (x)

$\cos (x)$ .

2 \sin (x) \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Stelle die Faktoren von

2 \sin (x) \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ um.

2 \cos (x) \sin (x)

$2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 7.2

Stelle

2 \cos (x)

$2 \cos (x)$ und

\sin (x)

$\sin (x)$ um.

\sin (x) (2 \cos (x))

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 7.3

Stelle

\sin (x)

$\sin (x)$ und

2

$2$ um.

2 \cdot \sin (x) \cos (x)

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 7.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

\sin (2 x)

$\sin (2 x)$

\sin (2 x)

$\sin (2 x)$