Analysis Beispiele

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.10

Multipliziere.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.12.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.12.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.12.4

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.12.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ mit $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + x}{1 - x}$ an.

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ und ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - x)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere ${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ durch $1$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe ${(1 - x)}^{2}$ als $(1 - x) (1 - x)$ um.

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $(1 - x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.4

Schreibe ${(1 + x)}^{2}$ als $(1 + x) (1 + x)$ um.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere $(1 + x) (1 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

Schritt 4.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

Schritt 4.3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.6.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Schritt 4.3.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Schritt 4.3.6.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

Schritt 4.3.6.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

Schritt 4.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

Schritt 4.3.8

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

Schritt 4.3.9

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

Schritt 4.3.10

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Schritt 4.3.11

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 4.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Schritt 4.3.11.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Schritt 4.3.11.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$