Analysis Beispiele

$e^{r (θ - t)} S^{- 1}$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)} \frac{1}{S}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Kombiniere $e^{r (θ - t)}$ und $\frac{1}{S}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{e^{r (θ - t)}}{S}]$

Schritt 2.2

Da $\frac{1}{S}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$ .

$\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = r (θ - t)$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{S} (e^{u} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (e^{r (θ - t)} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $e^{r (θ - t)}$ und $\frac{1}{S}$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [r (θ - t)]$

Schritt 4.2

Da $r$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $r (θ - t)$ nach $t$ gleich $r \frac{d}{d t} [θ - t]$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} (r \frac{d}{d t} [θ - t])$

Schritt 4.3

Kombiniere $r$ und $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [θ - t]$

Schritt 4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $θ - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 4.5

Da $θ$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $θ$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 4.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \cdot - 1$

Schritt 4.9.2

Kombiniere $\frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$ und $- 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)} \cdot - 1}{S}$

Schritt 4.9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.9.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $r e^{r (θ - t)}$ .

$\frac{- 1 \cdot (r e^{r (θ - t)})}{S}$

Schritt 4.9.3.2

Schreibe $- 1 r$ als $- r$ um.

$\frac{- r e^{r (θ - t)}}{S}$

Schritt 4.9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{r e^{r θ + r (- t)}}{S}$

Schritt 5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{r e^{r θ - r t}}{S}$