Analysis Beispiele

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Schritt 2.3

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $3$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan^{4} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\tan (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ aus $4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ aus $4 \sec^{4} (x) \tan (x)$ heraus.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ aus $- 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ heraus.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ aus $4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$ heraus.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 4.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$