Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3} = y$ um.

$\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3} = y$

Schritt 2

Addiere $\sqrt{x + 3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x - 3} = y + \sqrt{x + 3}$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x - 3}}^{2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 3}$ als ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 3)}^{1} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$x - 3 = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$ als $(y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$ um.

$x - 3 = (y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 = y (y + \sqrt{x + 3}) + \sqrt{x + 3} (y + \sqrt{x + 3})$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 = y \cdot y + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} (y + \sqrt{x + 3})$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 = y \cdot y + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Multipliziere $\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1.2.1

Potenziere $\sqrt{x + 3}$ mit $1$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}$

Schritt 4.3.1.3.1.2.2

Potenziere $\sqrt{x + 3}$ mit $1$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}$

Schritt 4.3.1.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}$

Schritt 4.3.1.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ als $x + 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.3.1.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.3.1.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.3.1.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{1}$

Schritt 4.3.1.3.1.3.5

Vereinfache.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + x + 3$

Schritt 4.3.1.3.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{x + 3} y$ um.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + y \sqrt{x + 3} + x + 3$

Schritt 4.3.1.3.3

Addiere $y \sqrt{x + 3}$ und $y \sqrt{x + 3}$ .

$x - 3 = y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3$

Schritt 5

Löse nach $2 y \sqrt{x + 3}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3$ um.

$y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 y \sqrt{x + 3}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3 - y^{2}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y \sqrt{x + 3} + 3 = x - 3 - y^{2} - x$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y \sqrt{x + 3} = x - 3 - y^{2} - x - 3$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 - y^{2} - x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$2 y \sqrt{x + 3} = - 3 - y^{2} + 0 - 3$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $- 3 - y^{2}$ und $0$ .

$2 y \sqrt{x + 3} = - 3 - y^{2} - 3$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$2 y \sqrt{x + 3} = - y^{2} - 6$

Schritt 6

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 y \sqrt{x + 3})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(2 y)}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$2^{2} y^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 y^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y^{2} {(x + 3)}^{1} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Vereinfache.

$4 y^{2} (x + 3) = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} x + 4 y^{2} \cdot 3 = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Vereinfache ${(- y^{2} - 6)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Schreibe ${(- y^{2} - 6)}^{2}$ als $(- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$ um.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = (- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $(- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2} - 6) - 6 (- y^{2} - 6)$

Schritt 7.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2} - 6)$

Schritt 7.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Schritt 7.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Schritt 7.3.1.3.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.3.1.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Schritt 7.3.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Schritt 7.3.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Schritt 7.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = 1 y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Schritt 7.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Schritt 7.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Schritt 7.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} + 6 y^{2} - 6 \cdot - 6$

Schritt 7.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} + 6 y^{2} + 36$

Schritt 7.3.1.3.2

Addiere $6 y^{2}$ und $6 y^{2}$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 12 y^{2} + 36$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Subtrahiere $12 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} x = y^{4} + 12 y^{2} + 36 - 12 y^{2}$

Schritt 8.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{4} + 12 y^{2} + 36 - 12 y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.1

Subtrahiere $12 y^{2}$ von $12 y^{2}$ .

$4 y^{2} x = y^{4} + 0 + 36$

Schritt 8.1.2.2

Addiere $y^{4}$ und $0$ .

$4 y^{2} x = y^{4} + 36$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} x = y^{4} + 36$ durch $4 y^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} x = y^{4} + 36$ durch $4 y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} x}{4 y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{2} x}{4 y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{4}$ und $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{4}$ heraus.

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2} \cdot 4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2} \cdot 4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 (y^{2})}$

Schritt 8.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 y^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{9}{y^{2}}$