Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{5}{6}$

Schritt 2

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 2.1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $10$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.2.6

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.2.7

Ziehe den Term $11$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{10 + 11 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Schritt 2.4.2

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Schritt 2.4.3

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Schritt 2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $11$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Schritt 2.6.1.2

Addiere $10$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 0}$

Schritt 2.6.2.2

Addiere $12$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12}$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $10$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.2.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.2.7

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.2.8

Ziehe den Term $11$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{10 + 11 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Schritt 3.4.2

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Schritt 3.4.3

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Mutltipliziere $11$ mit $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Schritt 3.6.1.2

Addiere $10$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 0}$

Schritt 3.6.2.2

Addiere $12$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12}$

Schritt 3.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{10}}{12}$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Schritt 5

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5}{6}$

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 7