Analysis Beispiele

$y = \sin (\sqrt{1 + x^{2}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \sin ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 4.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.12.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 4.12.2

Kombiniere $\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.12.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Stelle die Faktoren in $\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x$ um.

$\frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$