Analysis Beispiele

$y = \ln (7 x^{3} - x^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (7 x^{3} - x^{2}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 7 x^{3} - x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{3} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{3}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - (2 x))$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$ um.

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{7 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $7 x^{3} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $7 x^{3}$ heraus.

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) - x^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $21 x^{2} - 2 x$ mit $\frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$ .

$\frac{21 x^{2} - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $x$ aus $21 x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $21 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (21 x) - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

Schritt 3.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x (21 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (7 x - 1)}$

Schritt 3.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (21 x) + x \cdot - 2$ heraus.

$\frac{x (21 x - 2)}{x^{2} (7 x - 1)}$

Schritt 3.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (7 x - 1)$ heraus.

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

Schritt 3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

Schritt 3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$