Analysis Beispiele

$y z = \ln (x + z)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y z) = \frac{d}{d x} (\ln (x + z))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $z$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y z$ nach $x$ gleich $z \frac{d}{d x} [y]$ .

$z \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$z y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + z$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + z$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + z]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + z]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + z$ .

$\frac{1}{x + z} \frac{d}{d x} [x + z]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + z$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z]$ .

$\frac{1}{x + z} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + \frac{d}{d x} [z])$

Schritt 3.2.3

Da $z$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $z$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + 0)$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{x + z} \cdot 1$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + z}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x + z}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z y' = \frac{1}{x + z}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $z y' = \frac{1}{x + z}$ durch $z$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $z y' = \frac{1}{x + z}$ durch $z$ .

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{1}{x + z} \cdot \frac{1}{z}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + z}$ mit $\frac{1}{z}$ .

$y' = \frac{1}{(x + z) z}$

Schritt 5.3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{(x + z) z}$ um.

$y' = \frac{1}{z (x + z)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{z (x + z)}$