Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x} (3 x - 1)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere.

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Schritt 4.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.9

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.10.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.10.2.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.5.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.10.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.6

Schreibe $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ als $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ um.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.7

Um $3 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.8

Kombiniere $3 x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2.11

Addiere $6 x^{\frac{1}{2}}$ und $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$