Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} + 8}{8 - x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 8$ und $g (x) = 8 - x$ .

$\frac{(8 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(8 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + 0) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $8 - x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Multipliziere.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + 1 (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $x^{2} + 8$ mit $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \cdot 1}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $x^{2} + 8$ mit $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x)) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- x^{2}) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{16 x - 2 x^{2} + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{16 x - x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $16 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 16 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.8

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.10

Schreibe $- (x^{2} - 16 x - 8)$ als $- 1 (x^{2} - 16 x - 8)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 16 x - 8}{{(- x + 8)}^{2}}$