Analysis Beispiele

$y = \ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2.7

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{4 x - 1} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{1}{4 x - 1}$ und $4$ .

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{1}{x}$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{4 x - 1} - \frac{3}{x}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Um $\frac{4}{4 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x}$

Schritt 4.2

Um $- \frac{3}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(4 x - 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{4 x - 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x}$ mit $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ .

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

Schritt 4.3.3

Stelle die Faktoren von $(4 x - 1) x$ um.

$\frac{4 x}{x (4 x - 1)} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x - 3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$