Analysis Beispiele

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{a \to 0} \ln (1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

Schritt 1.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $a$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $a$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $a$ durch Einsetzen von $0$ für $a$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{a \to 0} a}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{a \to 0} a}$

Schritt 1.1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 0} a}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $a$ durch Einsetzen von $0$ für $a$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a} = lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = \ln (a)$ und $g (a) = 1 + a$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + a$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + a$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + a$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (0 + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \cdot 1}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + a}$ mit $1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a}}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.8

Stelle die Terme um.

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{\frac{d}{d a} [a]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{a + 1}$ mit $1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $a$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{a \to 0} 1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $a$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $a$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + lim_{a \to 0} 1}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $a$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $a$ durch Einsetzen von $0$ für $a$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$