Analysis Beispiele

$y = \sqrt[4]{\frac{2 x}{4 x - 3}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{2 x}{4 x - 3}}$ als $\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}}$ um.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}}]$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}]$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{\sqrt[4]{4 x - 3} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}]$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt[4]{4 x - 3}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{1} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}]$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{1 + 3}}]$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{4}}]$

Schritt 3.5

Schreibe ${\sqrt[4]{4 x - 3}}^{4}$ als $4 x - 3$ um.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{4 x - 3}$ als ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{({(4 x - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}]$

Schritt 3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}]$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{(4 x - 3)}^{\frac{4}{4}}}]$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{(4 x - 3)}^{\frac{4}{4}}}]$

Schritt 3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{(4 x - 3)}^{1}}]$

Schritt 3.5.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{4 x - 3}]$

Schritt 4

Schreibe ${\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}$ als $\sqrt[4]{{(4 x - 3)}^{3}}$ um.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} \sqrt[4]{{(4 x - 3)}^{3}}}{4 x - 3}]$

Schritt 5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x {(4 x - 3)}^{3}}}{4 x - 3}]$

Schritt 6

Da $\frac{\sqrt[4]{2 x {(4 x - 3)}^{3}}}{4 x - 3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sqrt[4]{2 x {(4 x - 3)}^{3}}}{4 x - 3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$