Analysis Beispiele

$y = 3 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}]$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}]$

Schritt 2.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}]$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}]$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}]$

Schritt 2.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}]$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}]$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}]$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}]$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}]$

Schritt 2.5.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}]$

Schritt 3

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 e^{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 e^{x}] + \frac{d}{d y} [\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 e^{x}] + \frac{d}{d y} [\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$

Schritt 5

Da $3 e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$

Schritt 6

Da $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + 0$

Schritt 7

Addiere $0$ und $0$ .

$0$