Analysis Beispiele

$y = 2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)]$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \tan (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.7

Kombiniere $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.9.2

Dividiere $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- 1 + \sec^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 4.2

Stelle $- 1$ und $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ um.

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Schritt 4.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (\frac{x}{2})$