Analysis Beispiele

$y = 3 x^{- \frac{3}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{3} - 2$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{- \frac{3}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{3} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{- \frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{- \frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{- \frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.8

Kombiniere $x^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{- 3 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{- 9 x^{- \frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.12

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.8

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.12

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2} + 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Addiere $- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} - \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$