Analysis Beispiele

$y = 4 x (5 x^{2} - 3 x)$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x (5 x^{2} - 3 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x (5 x^{2} - 3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x (5 x^{2} - 3 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 5 x^{2} - 3 x$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3 x] + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$4 (x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$4 (x (10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (10 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (10 x - 3 \cdot 1) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$4 (x (10 x - 3) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (10 x - 3) + (5 x^{2} - 3 x) \cdot 1)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $5 x^{2} - 3 x$ mit $1$ .

$4 (x (10 x - 3) + 5 x^{2} - 3 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x (10 x) + x \cdot - 3 + 5 x^{2} - 3 x)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x (10 x)) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (10 (x^{1} x)) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (10 (x^{1} x^{1})) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (10 x^{1 + 1}) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (10 x^{2}) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$40 x^{2} + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3.6

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$40 x^{2} + 4 (- 3 \cdot x) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$40 x^{2} - 12 x + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$40 x^{2} - 12 x + 20 x^{2} + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3.9

Addiere $40 x^{2}$ und $20 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 12 x + 4 (- 3 x)$

Schritt 4.3.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$60 x^{2} - 12 x - 12 x$

Schritt 4.3.11

Subtrahiere $12 x$ von $- 12 x$ .

$60 x^{2} - 24 x$