Analysis Beispiele

$y = x^{2} \arcsin (e^{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \arcsin (e^{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arcsin (e^{x})] + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - e^{x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} e^{x} + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$ und $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + \arcsin (e^{x}) (2 x)$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + 2 x \arcsin (e^{x})$