Analysis Beispiele

$y = \ln ({(5 - x)}^{6})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(5 - x)}^{6}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = 5 - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 - x$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 - x$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{{(5 - x)}^{6}}$ .

$\frac{6}{{(5 - x)}^{6}} ({(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere ${(5 - x)}^{5}$ und $\frac{6}{{(5 - x)}^{6}}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Schritt 3.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von ${(5 - x)}^{5}$ .

$\frac{6 \cdot {(5 - x)}^{5}}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(5 - x)}^{5}$ und ${(5 - x)}^{6}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere ${(5 - x)}^{5}$ aus $6 {(5 - x)}^{5}$ heraus.

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere ${(5 - x)}^{5}$ aus ${(5 - x)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6}{5 - x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{6}{5 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{5 - x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6}{5 - x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6}{5 - x} \cdot - 1$

Schritt 3.8.2

Kombiniere $\frac{6}{5 - x}$ und $- 1$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{5 - x}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6}{5 - x}$

Schritt 3.8.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{5 - x}$