Analysis Beispiele

$y = \cos (x + y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (x + y))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (x + y) (1 + y')$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \sin (x + y) (1 + y')$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = - \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y'$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = - \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$

Schritt 5.1.1.2.2

Stelle die Faktoren in $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ um.

$y' = - \sin (x + y) - y' \sin (x + y)$

Schritt 5.2

Addiere $y' \sin (x + y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' + y' \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' + y' \sin (x + y)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' \sin (x + y)$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (\sin (x + y)) = - \sin (x + y)$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (\sin (x + y))$ heraus.

$y' (1 + \sin (x + y)) = - \sin (x + y)$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 + \sin (x + y)) = - \sin (x + y)$ durch $1 + \sin (x + y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 + \sin (x + y)) = - \sin (x + y)$ durch $1 + \sin (x + y)$ .

$\frac{y' (1 + \sin (x + y))}{1 + \sin (x + y)} = \frac{- \sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (x + y)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 + \sin (x + y))}{1 + \sin (x + y)} = \frac{- \sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$