Analysis Beispiele

$y = \sin (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (\frac{1}{x}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\cos (\frac{1}{x})$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$