Analysis Beispiele

$y = \ln (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (9 x^{2} + 5 y^{2}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 5 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Schritt 3.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Schritt 3.2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$ um.

$(18 x + 10 y y') \frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $18 x + 10 y y'$ mit $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$ .

$\frac{18 x + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $2$ aus $18 x + 10 y y'$ heraus.

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Schritt 3.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x$ heraus.

$\frac{2 (9 x) + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Schritt 3.6.3.2

Faktorisiere $2$ aus $10 y y'$ heraus.

$\frac{2 (9 x) + 2 (5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Schritt 3.6.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (9 x) + 2 (5 y y')$ heraus.

$\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $y' (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 y' x^{2} + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x + 5 y y')$

Schritt 5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x) + 2 (5 y y')$

Schritt 5.2.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 2 (5 y y')$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 (y y')$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Bewege $y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 y' y$

Schritt 5.2.2.1.3.4

Stelle $18 x$ und $10 y' y$ um.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 10 y' y + 18 x$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $10 y' y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $9 y' x^{2}$ heraus.

$y' (9 x^{2}) + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $5 y' y^{2}$ heraus.

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) - 10 y' y = 18 x$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 10 y' y$ heraus.

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Schritt 5.3.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2})$ heraus.

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Schritt 5.3.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y)$ heraus.

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ durch $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ durch $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$