Analysis Beispiele

$y = \log_{2} (4 x^{3})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\log_{2} (4 x^{3}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{2} (x)$ und $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\log_{2} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{3}$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} (3 x^{2})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{3}{x^{3} \ln (2)} x^{2}$

Schritt 3.2.4.2

Kombiniere $\frac{3}{x^{3} \ln (2)}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (2)}$

Schritt 3.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 3.2.4.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \ln (2)}$

Schritt 3.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} \ln (2)$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Schritt 3.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Schritt 3.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x \ln (2)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3}{x \ln (2)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x \ln (2)}$