Analysis Beispiele

$y = \ln ({(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} \frac{d}{d x} [{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (4 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x^{5} + 4}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (4 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x^{5} + 4}]))$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 5 x^{5} + 4$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{(5 x^{5} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 4]}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{(5 x^{5} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 4]}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 x^{5} + 4$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 \cdot (5 x^{5} + 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 4]}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{5} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.5.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{5}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (25 x^{4} + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.5.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (25 x^{4} + 0)}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.5.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.8.1

Addiere $25 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (25 x^{4})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.5.8.2

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{2} x^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 (x^{4} x^{2})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{4 + 2}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.6.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}}$ und $16$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (\frac{(2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}) \cdot 16}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

Schritt 3.8

Bringe $16$ auf die linke Seite von $2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (\frac{16 \cdot (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ an.

$\frac{1}{\frac{{(4 x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

Schritt 3.9.2

Wende die Produktregel auf $4 x^{2}$ an.

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

Schritt 3.9.3

Wende die Produktregel auf $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ an.

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.4

Wende die Produktregel auf $4 x^{2}$ an.

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 ((2 (5 x^{5}) + 2 \cdot 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x + 2 \cdot 4 x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8

Vereine die Terme

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Schritt 3.9.8.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{\frac{256 {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{4}$ .

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Schritt 3.9.8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{256 x^{2 \cdot 4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{\frac{256 x^{8}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{256 x^{8}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}$ zu dividieren.

$1 \frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.4

Mutltipliziere $\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}}$ mit $1$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 x^{5} x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 (x^{1} x^{5})) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 x^{1 + 5}) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.8

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 x^{6}) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.9

Mutltipliziere $10$ mit $16$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 16 (8 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.11

Mutltipliziere $8$ mit $16$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 128 x + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.12

Mutltipliziere $- 25$ mit $16$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 128 x - 400 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.13

Subtrahiere $400 x^{6}$ von $160 x^{6}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.14

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{64 {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.15

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 3.9.8.15.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{64 x^{2 \cdot 3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.15.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{64 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9.8.16

Mutltipliziere $\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}}$ mit $\frac{64 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{(- 240 x^{6} + 128 x) (64 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2} {(5 x^{5} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.9.8.17

Multipliziere ${(5 x^{5} + 4)}^{2}$ mit ${(5 x^{5} + 4)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.9.8.17.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{(- 240 x^{6} + 128 x) (64 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2 + 3}}$

Schritt 3.9.8.17.2

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{(- 240 x^{6} + 128 x) (64 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Schritt 3.9.8.18

Bringe $64$ auf die linke Seite von $- 240 x^{6} + 128 x$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{64 \cdot (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Schritt 3.9.8.19

Mutltipliziere $\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}}$ mit $\frac{64 (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{5}}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} (64 (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Schritt 3.9.8.20

Bringe $64$ auf die linke Seite von ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ .

$\frac{64 \cdot {(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Schritt 3.9.8.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $256$ .

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Schritt 3.9.8.21.1

Faktorisiere $64$ aus $64 {(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}$ heraus.

$\frac{64 (({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6})}{256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Schritt 3.9.8.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.8.21.2.1

Faktorisiere $64$ aus $256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}$ heraus.

$\frac{64 (({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6})}{64 (4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5})}$

Schritt 3.9.8.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 (({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6})}{64 (4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5})}$

Schritt 3.9.8.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6}}{4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Schritt 3.9.8.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ und ${(5 x^{5} + 4)}^{5}$ .

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Schritt 3.9.8.22.1

Faktorisiere ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ aus $({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6}$ heraus.

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} ((- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Schritt 3.9.8.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.8.22.2.1

Faktorisiere ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ aus $4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}$ heraus.

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} ((- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{4} (4 x^{8} (5 x^{5} + 4))}$

Schritt 3.9.8.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} ((- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{4} (4 x^{8} (5 x^{5} + 4))}$

Schritt 3.9.8.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{4 x^{8} (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.8.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x^{8}$ .

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Schritt 3.9.8.23.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $(- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{6} ((- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6})}{4 x^{8} (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.8.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.8.23.2.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $4 x^{8} (5 x^{5} + 4)$ heraus.

$\frac{x^{6} ((- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6})}{x^{6} (4 x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

Schritt 3.9.8.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{6} ((- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6})}{x^{6} (4 x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

Schritt 3.9.8.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6}}{4 x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.8.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 240 + 128 x^{- 5}$ und $4$ .

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Schritt 3.9.8.24.1

Faktorisiere $4$ aus $(- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6}$ heraus.

$\frac{4 ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6})}{4 x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.8.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.8.24.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} (5 x^{5} + 4)$ heraus.

$\frac{4 ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6})}{4 (x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

Schritt 3.9.8.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6})}{4 (x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

Schritt 3.9.8.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6}}{x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.8.25

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.9.8.25.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $(- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{4})}{x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.8.25.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.8.25.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{4})}{x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.8.25.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 60 + 32 x^{- 5}) x^{4}}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.9

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{4} (- 60 + 32 x^{- 5})}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.10.1

Faktorisiere $4$ aus $- 60 + 32 x^{- 5}$ heraus.

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Schritt 3.9.10.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 60$ heraus.

$\frac{x^{4} (4 (- 15) + 32 x^{- 5})}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.1.2

Faktorisiere $4$ aus $32 x^{- 5}$ heraus.

$\frac{x^{4} (4 (- 15) + 4 (8 x^{- 5}))}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 15) + 4 (8 x^{- 5})$ heraus.

$\frac{x^{4} (4 (- 15 + 8 x^{- 5}))}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{4} (4 (- 15 + 8 \frac{1}{x^{5}}))}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.3

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 4 (- 15 + \frac{8}{x^{5}})}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.4

Um $- 15$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 4 (- 15 \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{8}{x^{5}})}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.5

Kombiniere $- 15$ und $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 4 (\frac{- 15 x^{5}}{x^{5}} + \frac{8}{x^{5}})}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{4} \cdot 4 \frac{- 15 x^{5} + 8}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.9.10.7.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{- 15 x^{5} + 8}{x^{5}}$ .

$\frac{4 \frac{x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.7.2

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{4 (x^{4} (- 15 x^{5} + 8))}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.8

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\frac{4 x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.9

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.10.9.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $4 x^{4} (- 15 x^{5} + 8)$ heraus.

$\frac{\frac{x^{4} (4 (- 15 x^{5} + 8))}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.9.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{\frac{x^{4} (4 (- 15 x^{5} + 8))}{x^{4} x}}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x^{4} (4 (- 15 x^{5} + 8))}{x^{4} x}}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.10.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x}}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.11

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x} \cdot \frac{1}{5 x^{5} + 4}$

Schritt 3.9.12

Mutltipliziere $\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x}$ mit $\frac{1}{5 x^{5} + 4}$ .

$\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 x^{5}$ heraus.

$\frac{4 (- (15 x^{5}) + 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.14

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{4 (- (15 x^{5}) - 1 (- 8))}{x (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (15 x^{5}) - 1 (- 8)$ heraus.

$\frac{4 (- (15 x^{5} - 8))}{x (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.16

Schreibe $- (15 x^{5} - 8)$ als $- 1 (15 x^{5} - 8)$ um.

$\frac{4 (- 1 (15 x^{5} - 8))}{x (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 3.9.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (15 x^{5} - 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{4 (15 x^{5} - 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (15 x^{5} - 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$