Analysis Beispiele

$x + y - 1 = \ln (x^{2} + y^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x + y - 1) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + y' + 0$

Schritt 2.5

Addiere $1 + y'$ und $0$ .

$1 + y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Schritt 3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2 x + 2 y y'$ mit $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 y y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y y'$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (y y')$ heraus.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 + y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} + y^{2}$ .

$(1 + y') (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (x^{2} + y^{2}) + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.2.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$x^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.2.2

Bewege $x^{2}$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y')$

Schritt 5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

Schritt 5.2.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.3.1

Bewege $y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y' y$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Stelle $2 x$ und $2 y' y$ um.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 y' y + 2 x$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Subtrahiere $2 y' y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x$

Schritt 5.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2}$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{2}$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' y^{2}$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y' y$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ heraus.

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ durch $x^{2} + y^{2} - 2 y$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ durch $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.4.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.4.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$