Analysis Beispiele

$x - \cos (7 y) = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x - \cos (7 y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \cos (7 y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (7 y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (7 y)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (7 y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 7 y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [7 y])$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$1 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [7 y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $7 y$ .

$1 - (- \sin (7 y) \frac{d}{d x} [7 y])$

Schritt 2.2.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 y$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - (- \sin (7 y) (7 \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 - (- \sin (7 y) (7 y'))$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$1 - (- 7 \sin (7 y) y')$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$1 + 7 \sin (7 y) y'$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$7 \sin (7 y) y' + 1$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$7 \sin (7 y) y' + 1 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $7 \sin (7 y) y' + 1$ um.

$7 y' \sin (7 y) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y' \sin (7 y) = - 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $7 y' \sin (7 y) = - 1$ durch $7 \sin (7 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y' \sin (7 y) = - 1$ durch $7 \sin (7 y)$ .

$\frac{7 y' \sin (7 y)}{7 \sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y' \sin (7 y)}{7 \sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sin (7 y)}{\sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (7 y)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (7 y)}{\sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{1}{\sin (7 y)}$

Schritt 5.3.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (7 y)}$ nach $\csc (7 y)$ um.

$y' = \frac{- 1}{7} \csc (7 y)$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{7} \csc (7 y)$

Schritt 5.3.3.4

Kombiniere $\csc (7 y)$ und $\frac{1}{7}$ .

$y' = - \frac{\csc (7 y)}{7}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (7 y)}{7}$