Analysis Beispiele

$\cot (y) = 4 x - 5 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (4 x - 5 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \csc^{2} (y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 5 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 - 5 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \csc^{2} (y) y' = 4 - 5 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- \csc^{2} (y) y'$ um.

$- y' \csc^{2} (y) = 4 - 5 y'$

Schritt 5.2

Addiere $5 y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \csc^{2} (y) + 5 y' = 4$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \csc^{2} (y) + 5 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \csc^{2} (y)$ heraus.

$y' (- 1 \csc^{2} (y)) + 5 y' = 4$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $5 y'$ heraus.

$y' (- 1 \csc^{2} (y)) + y' \cdot 5 = 4$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 \csc^{2} (y)) + y' \cdot 5$ heraus.

$y' (- 1 \csc^{2} (y) + 5) = 4$

Schritt 5.4

Schreibe $- 1 \csc^{2} (y)$ als $- \csc^{2} (y)$ um.

$y' (- \csc^{2} (y) + 5) = 4$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \csc^{2} (y) + 5) = 4$ durch $- \csc^{2} (y) + 5$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \csc^{2} (y) + 5) = 4$ durch $- \csc^{2} (y) + 5$ .

$\frac{y' (- \csc^{2} (y) + 5)}{- \csc^{2} (y) + 5} = \frac{4}{- \csc^{2} (y) + 5}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \csc^{2} (y) + 5$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- \csc^{2} (y) + 5)}{- \csc^{2} (y) + 5} = \frac{4}{- \csc^{2} (y) + 5}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4}{- \csc^{2} (y) + 5}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (y)$ heraus.

$y' = \frac{4}{- (\csc^{2} (y)) + 5}$

Schritt 5.5.3.2

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$y' = \frac{4}{- (\csc^{2} (y)) - 1 (- 5)}$

Schritt 5.5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\csc^{2} (y)) - 1 (- 5)$ heraus.

$y' = \frac{4}{- (\csc^{2} (y) - 5)}$

Schritt 5.5.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.4.1

Schreibe $- (\csc^{2} (y) - 5)$ als $- 1 (\csc^{2} (y) - 5)$ um.

$y' = \frac{4}{- 1 (\csc^{2} (y) - 5)}$

Schritt 5.5.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4}{\csc^{2} (y) - 5}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{\csc^{2} (y) - 5}$