Analysis Beispiele

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ um.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + \frac{π}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 y y' + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 y y'$ und $0$ .

$2 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $1 + y'$ mit $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.2.2

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.2.3.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 5.2.2.3.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.2.3.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.3

Um $- 2 y y'$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $- 2 y y'$ und $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.6.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.6.2.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.6.2.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.6.2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.6.2.3

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.6.2.3.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.2.6.2.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.6.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.6.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.2.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 5.3

Setze den Zähler gleich Null.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y' x^{2}$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Schritt 5.4.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y^{2} y' x$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

Schritt 5.4.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y^{3} y'$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Schritt 5.4.2.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Schritt 5.4.2.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ heraus.

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Schritt 5.4.2.8

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ heraus.

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Schritt 5.4.2.9

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ heraus.

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ durch $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ durch $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$