Analysis Beispiele

$\ln (y) = e^{y} \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (x))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y'$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{y}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) e^{y} y'$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y'}{y} = e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$ um.

$y' = y e^{y} \cos (x) + y' y e^{y} \sin (x)$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Stelle $y e^{y} \cos (x)$ und $y' y e^{y} \sin (x)$ um.

$y' = y' y e^{y} \sin (x) + y e^{y} \cos (x)$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y' y e^{y} \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' - y' y e^{y} \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' y e^{y} \sin (x)$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x))$ heraus.

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Schritt 5.3.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ durch $1 - y e^{y} \sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ durch $1 - y e^{y} \sin (x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y e^{y} \sin (x)$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$