Analysis Beispiele

$y = {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = 6 x^{3} + 7$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{3} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.8

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{3}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.11

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + 0)$

Schritt 3.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.12.1

Addiere $18 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2})$

Schritt 3.12.2

Kombiniere $18$ und $\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{18 (3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

Schritt 3.12.3

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

Schritt 3.12.4

Kombiniere $\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

Schritt 3.12.5

Faktorisiere $2$ aus $54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

Schritt 3.13.4

Dividiere $27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ durch $1$ .

$27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Schritt 3.14

Stelle die Faktoren von $27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ um.

$27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$