Analysis Beispiele

$y = {(4 x + 3)}^{5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x + 3)}^{5})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = 4 x + 3$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 3$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 + 0)$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} \cdot 4$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 {(4 x + 3)}^{4}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 20 {(4 x + 3)}^{4}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 {(4 x + 3)}^{4}$