Analysis Beispiele

$y = \frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = (x - 7) (x^{2} + 4 x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 7$ und $g (x) = x^{2} + 4 x$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \cdot 1) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.8

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + 0)) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \cdot 1) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.9.2

Mutltipliziere $x^{2} + 4 x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.4.11.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.11.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.4.11.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.4.11.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})$ heraus.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $x$ aus $x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ heraus.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $x$ aus $x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)$ heraus.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

Schritt 3.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.3.1.1

Multipliziere $(x - 7) (2 x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.8.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x + 4) - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.8.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.8.3.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.2.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.2.2

Subtrahiere $14 x$ von $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.5

Multipliziere $(- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.8.3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x (1 + \frac{4}{x}) + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.8.3.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.3.1.6.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.8.3.1.6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot 4 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.6.1.4

Mutltipliziere $21$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.6.1.5

Multipliziere $21 \frac{4}{x}$ .

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Schritt 3.8.3.1.6.1.5.1

Kombiniere $21$ und $\frac{4}{x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{21 \cdot 4}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.6.1.5.2

Mutltipliziere $21$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.6.2

Addiere $- 12$ und $21$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 9 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x \cdot x + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.3.1.8.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.8.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 (x \cdot x) + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.8.3.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84$ .

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Schritt 3.8.3.3.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 0 + 9 x + 84}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.3.2

Addiere $- 10 x - 28 + 4 x$ und $0$ .

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 9 x + 84}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.4

Addiere $- 10 x$ und $4 x$ .

$\frac{- 6 x - 28 + 9 x + 84}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.5

Addiere $- 6 x$ und $9 x$ .

$\frac{3 x - 28 + 84}{x^{3}}$

Schritt 3.8.3.6

Addiere $- 28$ und $84$ .

$\frac{3 x + 56}{x^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$