Analysis Beispiele

$y = 7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (7^{\sec (x)} + \ln (x^{3}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 7^{x}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x^{3}} x^{2}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $\frac{3}{x^{3}}$ und $x^{2}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Schritt 3.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Schritt 3.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Schritt 3.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$