Analysis Beispiele

$y = (4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ((4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 4 t - 1$ und $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 2 t - 2$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(4 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t - 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Schritt 3.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.3.8

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.3.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + 0)$

Schritt 3.3.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 4$

Schritt 3.3.12.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 4 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Terme um.

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 t - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t - 2$ heraus.

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) + 2 (- 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (t) + 2 (- 1)$ heraus.

$- 2 \frac{1}{{(2 (t - 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (t - 1)$ an.

$- 2 \frac{1}{2^{2} {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4 {(t - 1)}^{2}$ heraus.

$2 (- 1) \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 {(t - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $4 t$ heraus.

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (2 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.8

Kombiniere $\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}}$ und $t$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.9

Multipliziere $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.4.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + 1 \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.4.2.11

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 t - 2}$

Schritt 3.4.2.12

Faktorisiere $2$ aus $2 t - 2$ heraus.

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Schritt 3.4.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) - 2}$

Schritt 3.4.2.12.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) + 2 (- 1)}$

Schritt 3.4.2.12.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (t) + 2 (- 1)$ heraus.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t - 1)}$

Schritt 3.4.2.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 (2) \frac{1}{2 (t - 1)}$

Schritt 3.4.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2 (t - 1)}$

Schritt 3.4.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \frac{1}{t - 1}$

Schritt 3.4.2.14

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1}$

Schritt 3.4.3

Um $\frac{2}{t - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1} \cdot \frac{t - 1}{t - 1} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(t - 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{t - 1}$ mit $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{(t - 1) (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Potenziere $t - 1$ mit $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.3

Potenziere $t - 1$ mit $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} {(t - 1)}^{1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1 + 1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 t + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 t + 2 (t - 1)$ heraus.

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Schritt 3.4.6.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{2 (- t) + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (- t) + 2 (t - 1)$ heraus.

$\frac{2 (- t + t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.1.2

Addiere $- t$ und $t$ .

$\frac{2 (0 - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Um $- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 {(t - 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{{(t - 1)}^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.8.2

Stelle die Faktoren von ${(t - 1)}^{2} \cdot 2$ um.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.10.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.10.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$\frac{- 3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$