Analysis Beispiele

$y = (x + 1) (x^{2} - 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + 1) (x^{2} - 1))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $x^{2} - 1$ mit $1$ .

$2 (x + 1) x + x^{2} - 1$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Schritt 3.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Schritt 3.3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Schritt 3.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Schritt 3.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Schritt 3.3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1$

Schritt 3.3.3.6

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 1$