Analysis Beispiele

$x^{3} - x^{2} - x y = 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x^{2} - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - 2 x - \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 2 x - (x y') - y$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 x^{2} - 2 x - x y' - y$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - 2 x - y = - 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - y = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.1.3

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ durch $- x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ durch $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x)}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (- 3 x)$ als $- (- 3 x)$ um.

$y' = - (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = 3 x + \frac{2}{- 1} + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$y' = 3 x - 1 \cdot 2 + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y' = 3 x - 2 + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$