Analysis Beispiele

$x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.5.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.5.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.5.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y y'$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y') - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 2 x y y' - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

Schritt 2.6.3

Stelle die Terme um.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2} - 2 x y$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' x^{2} - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x y y'$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ heraus.

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y)$ heraus.

$y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ durch $x^{2} - 2 x y + 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ durch $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Schritt 5.3.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$