Analysis Beispiele

$1 + \ln (x y) = e^{x - y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (1 + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$0 + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x y}$ .

$0 + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\frac{x}{x y}$ und $y'$ .

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x y}$ und $y$ .

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Schritt 2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Schritt 2.3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Schritt 2.3.2.6

Addiere $0$ und $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $e^{x - y} (1 - y')$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

Schritt 5.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $e^{x - y}$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

Schritt 5.1.4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ um.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $y' e^{x - y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.2

Um $y' e^{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y' + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' + y' e^{x - y} y$ heraus.

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Schritt 5.2.4.1

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$\frac{{y'}^{1} + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.4.2

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$\frac{y' \cdot 1 + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{x - y} y$ heraus.

$\frac{y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)$ heraus.

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.5

Um $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.6

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.7.3

Stelle die Faktoren von $y x$ um.

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.9.2

Mutltipliziere $y'$ mit $1$ .

$\frac{(y' + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y} = e^{x - y}$

Schritt 5.2.10

Stelle die Faktoren in $\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y}$ um.

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} = e^{x - y}$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $x y$ .

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache $\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y)$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x y$ .

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Schritt 5.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

Schritt 5.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' x + y' y x e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

Schritt 5.4.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 5.4.1.1.2.1

Bewege $y$ .

$y' x + y' x y e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

Schritt 5.4.1.1.2.2

Bewege $y' x y e^{x - y}$ .

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = e^{x - y} (x y)$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{x - y} (x y)$ um.

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y}$

Schritt 5.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.5.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x + y' x y e^{x - y}$ heraus.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x$ heraus.

$y' x \cdot 1 + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

Schritt 5.5.2.2

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x y e^{x - y}$ heraus.

$y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

Schritt 5.5.2.3

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y})$ heraus.

$y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

Schritt 5.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ durch $x (1 + y e^{x - y})$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ durch $x (1 + y e^{x - y})$ .

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Schritt 5.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y e^{x - y}$ .

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Schritt 5.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Schritt 5.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{x y e^{x - y} - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Schritt 5.5.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x y e^{x - y} - y$ heraus.

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Schritt 5.5.3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y e^{x - y}$ heraus.

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Schritt 5.5.3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1}{x (1 + y e^{x - y})}$

Schritt 5.5.3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1$ heraus.

$y' = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$