Analysis Beispiele

$x y^{3} = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$y^{3} + 3 y^{2} x y'$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} x y' = - y^{3}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} x y' = - y^{3}$ durch $3 y^{2} x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} x y' = - y^{3}$ durch $3 y^{2} x$ .

$\frac{3 y^{2} x y'}{3 y^{2} x} = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2} x y'}{3 y^{2} x} = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} x y'}{y^{2} x} = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} x y'}{y^{2} x} = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} (- y)}{3 y^{2} x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} (- y)}{y^{2} (3 x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{2} (- y)}{y^{2} (3 x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{3 x}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{3 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{3 x}$