Analysis Beispiele

$5 x^{2} y - π \cos (y) = 6 π$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} y - π \cos (y)) = \frac{d}{d x} (6 π)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} y - π \cos (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π \cos (y)$ nach $x$ gleich $- π \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (y) y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + 1 π (\sin (y) y')$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + π \sin (y) y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) + π \sin (y) y'$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x^{2} y' + 10 y x + π \sin (y) y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y'$

Schritt 3

Da $6 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y'$ um.

$5 x^{2} y' + 10 x y + π y' \sin (y) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $10 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} y' + π y' \sin (y) = - 10 x y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $5 x^{2} y' + π y' \sin (y)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $5 x^{2} y'$ heraus.

$y' (5 x^{2}) + π y' \sin (y) = - 10 x y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $π y' \sin (y)$ heraus.

$y' (5 x^{2}) + y' (π \sin (y)) = - 10 x y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 x^{2}) + y' (π \sin (y))$ heraus.

$y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$ durch $5 x^{2} + π \sin (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$ durch $5 x^{2} + π \sin (y)$ .

$\frac{y' (5 x^{2} + π \sin (y))}{5 x^{2} + π \sin (y)} = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x^{2} + π \sin (y)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (5 x^{2} + π \sin (y))}{5 x^{2} + π \sin (y)} = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$